Raggio (geometria)

Secondo la definizione moderna della geometria, il raggio di un cerchio o di una sfera è un segmento di retta avente un estremo sulla circonferenza o superficie sferica e l'altro estremo nel centro della figura. Per estensione si definisce raggio di un cerchio o di una sfera anche la lunghezza di un tale segmento. Il raggio misura la metà del diametro.

Raggio di un cerchio

Raggio (r) e diametro (d) di una sfera.

Più generalmente — in geometria, ingegneria, teoria dei grafi, e in molti altri settori — il raggio di qualcosa (per esempio di un cilindro, di un grafo, o di un componente meccanico) è la distanza dei suoi punti più esterni dal centro o asse.

La definizione di raggio data per i cerchi e per le sfere si lascia estendere naturalmente al caso di iperspazi con più di tre dimensioni. Generalmente, un segmento che congiunge un punto di un'ipersfera al suo centro è un raggio dell'ipersfera.

In una spirale il raggio è una funzione dell'angolo. Tutte le circonferenze sono assimilabili a spirali con raggio costante.

Formule per i cerchi

Raggio dal diametro

Il raggio ${\displaystyle R}$ di un cerchio avente diametro ${\displaystyle d}$ è

${\displaystyle R={\frac {d}{2}}.}$

Raggio dalla circonferenza

Il raggio ${\displaystyle R}$ di un cerchio avente circonferenza ${\displaystyle C}$ è

${\displaystyle R={\frac {C}{2\pi }}.}$

Raggio del cerchio

Il raggio ${\displaystyle R}$ di un cerchio avente area ${\displaystyle A}$ è

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}.}$

Il raggio ${\displaystyle R}$ della circonferenza che attraversa tre punti non collineari ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}}$ è dato da

${\displaystyle R={\frac {|{\vec {OP_{1}}}-{\vec {OP_{3}}}|}{2\sin \theta }},}$

dove ${\displaystyle \theta }$ è l'angolo ${\displaystyle \angle P_{1}P_{2}P_{3}.}$ La formula è calcolata utilizzando il teorema dei seni.

Con riferimento alla figura a destra, lo stesso raggio ${\displaystyle R}$ può anche essere espresso nel modo seguente:

${\displaystyle R={\frac {a}{2\sin \alpha }},}$

dove ${\displaystyle a}$ indica la lunghezza del segmento di estremi ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle C,}$ mentre ${\displaystyle \alpha }$ è l'angolo ${\displaystyle \angle BAC.}$

Pertanto, se consideriamo tre punti di coordinate ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}$ e ${\displaystyle (x_{3},y_{3}),}$ il raggio della circonferenza che li attraversa è dato da:

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {((x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2})((x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2})((x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2})}}{2|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}|}}.}$

Raggio dell'ellisse

Lo stesso argomento in dettaglio: Ellisse.

Lo stesso argomento in dettaglio: Semiasse maggiore, Semiasse minore ed Eccentricità (matematica).

Il raggio medio ${\displaystyle R}$ di un'ellisse è definito come il raggio di un cerchio di area (superficie) uguale a quella dell'ellisse.

È uguale alla radice quadrata del prodotto dei due semiassi dell'ellisse:

${\displaystyle R={\sqrt {ab}}=a{\sqrt[{4}]{1-e^{2}}}.}$

Si definisce cerchio principale di un'ellisse, il cerchio con centro nel centro dell'ellisse e di raggio ${\displaystyle a,}$ uguale al semiasse maggiore dell'ellisse.

Si definisce cerchio secondario di un'ellisse, il cerchio con centro nel centro dell'ellisse e di raggio ${\displaystyle b,}$ uguale al semiasse minore dell'ellisse.

Raggio del poligono

Il raggio di un poligono regolare è il segmento che unisce il centro a uno dei suoi vertici. Pertanto, la lunghezza di tale segmento è uguale al raggio della circonferenza circoscritta al poligono.

Il raggio ${\displaystyle R}$ di un poligono di ${\displaystyle n}$ lati di lunghezza ${\displaystyle a_{n}}$ ciascuno, è dato da:

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {(a_{n})^{2}}{2-2\cos(2\pi /n)}}}={\frac {a_{n}}{2\sin(\pi /n)}}.}$

Il raggio in funzione della lunghezza dell'apotema ${\displaystyle h}$, è dato da:

${\displaystyle R={\frac {h}{\cos(\pi /n)}}.}$

Raccogliendo tutte le costanti (nella prima delle due formule), si può scrivere che il raggio ${\displaystyle R}$ del poligono è ${\displaystyle R=R(a_{n},n)}$, ed è dato da ${\displaystyle R=r_{n}a_{n},}$ con ${\displaystyle r_{n}=1/\left(2\sin {\frac {\pi }{n}}\right).}$

Si arriva così alla tabella dei seguenti numeri fissi:

${\displaystyle {\begin{array}{r|ccr|c}n&r_{n}&&n&r_{n}\\\hline 2&0,50000000&&10&1,6180340-\\3&0,5773503-&&11&1,7747328-\\4&0,7071068-&&12&1,9318517-\\5&0,8506508+&&13&2,0892907+\\6&1,00000000&&14&2,2469796+\\7&1,1523824+&&15&2,4048672-\\8&1,3065630-&&16&2,5629154+\\9&1,4619022+&&17&2,7210956-\end{array}}}$

che, noti la lunghezza e il numero di lati, permette di calcolare il raggio del poligono.

Raggio di un ipercubo

Il raggio ${\displaystyle R}$ di un ipercubo ${\displaystyle d}$-dimensionale e lato ${\displaystyle a_{n}}$, è:

${\displaystyle R={\frac {a_{n}}{2}}{\sqrt {d}}.}$

Voci correlate

• Raggio terrestre
• Curvatura

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• Raggio, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
• Ràggio, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• ràggio, su sapere.it, De Agostini.
• Raggio, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) radius, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Opere riguardanti Radius (Geometry), su Open Library, Internet Archive.
• (EN) Eric W. Weisstein, Radius, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Radius, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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