Angolo solido

In geometria un angolo solido è un'estensione allo spazio tridimensionale del concetto di angolo piano. Esso è definito come ciascuna delle due regioni in cui viene suddiviso lo spazio dalla superficie formata dalle semirette che hanno origine in uno stesso punto (detto vertice dell'angolo solido) e passanti per i punti di una curva chiusa semplice tracciata su una superficie non contenente il vertice. L'unità di misura dell'angolo solido è lo steradiante.

Un caso particolare di angolo solido è l'angoloide poliedrico (o semplicemente angoloide) che si ottiene quando la curva è un poligono. Un angoloide può essere chiamato angoloide quadrico quando ammette che le proprie facce siano tangenti a una quadrica di rotazione, come avviene nel caso dell'angoloide triedrico.

Misura dell'angolo solido

Angolo solido W sotteso in una sfera di raggio R

La misura in steradianti dell'angolo solido ${\displaystyle \Omega }$ è definita come ${\displaystyle A/R^{2}}$, dove ${\displaystyle A}$ è l'area della porzione di superficie sferica di raggio ${\displaystyle R}$ vista sotto l'angolo ${\displaystyle \Omega }$. Tale definizione è indipendente dal particolare valore del raggio scelto, ed è un'estensione allo spazio tridimensionale della definizione della misura di un angolo piano ${\displaystyle \theta }$ in radianti come ${\displaystyle s/r}$, dove ${\displaystyle s}$ è la lunghezza dell'arco di circonferenza di raggio ${\displaystyle r}$ sotteso da ${\displaystyle \theta }$. L'angolo solido sotteso da una superficie generica rispetto a un punto P è dunque equivalente a quello sotteso dalla proiezione della stessa superficie su una sfera di raggio qualsiasi centrata in P.

Dalla precedente definizione consegue che l'angolo solido sotteso dall'intera superficie sferica misura ${\displaystyle 4\pi }$. Per avere la misura in gradi quadrati si moltiplica il valore in steradianti per ${\displaystyle (180/\pi )^{2}}$, ovvero per ${\displaystyle \approx 3282,8}$. Quindi tutta la sfera corrisponde a circa 41253 gradi quadrati.

Esempi

• Nel caso di un cono di apertura ${\displaystyle \alpha }$, la misura dell'angolo solido ${\displaystyle \Omega }$ rispetto al vertice è uguale a:

${\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-\cos {\frac {\alpha }{2}}\right).}$

Caso particolare è l'angolo solido sotteso da mezza sfera, cioè da un angolo pari a ${\displaystyle \pi }$. La formula diventa:

${\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-\cos {\frac {\pi }{2}}\right)=2\pi (1-0)=2\pi ,}$

che è uguale alla metà di ${\displaystyle 4\pi }$ che è l'intero angolo solido.

• Una semplice formula per calcolare la misura dell'angolo solido sotteso di un triangolo di vertici ${\displaystyle {\mathbf {R} }_{1}}$, ${\displaystyle {\mathbf {R} }_{2}}$ e ${\displaystyle {\mathbf {R} }_{3}}$ e visto dall'origine è stata formulata da Oosterom e Strackee:

${\displaystyle \tan \left({\frac {\Omega }{2}}\right)={\frac {|{\mathbf {R} }_{1}\cdot ({\mathbf {R} }_{2}\times {\mathbf {R} }_{3})|}{R_{1}R_{2}R_{3}+({\mathbf {R} }_{1}\cdot {\mathbf {R} }_{2})R_{3}+({\mathbf {R} }_{2}\cdot {\mathbf {R} }_{3})R_{1}+({\mathbf {R} }_{3}\cdot {\mathbf {R} }_{1})R_{2}}},}$

dove:

${\displaystyle {\mathbf {R} }_{i}}$ è la rappresentazione vettoriale del punto ${\displaystyle i}$;

${\displaystyle R_{i}}$ denota la distanza del punto ${\displaystyle i}$ dall'origine (norma euclidea di ${\displaystyle {\mathbf {R} }_{i}}$);

${\displaystyle {\mathbf {R} }_{i}\cdot {\mathbf {R} }_{j}}$ denota il prodotto scalare;

${\displaystyle {\mathbf {R} }_{i}\times {\mathbf {R} }_{j}}$ denota il prodotto vettoriale;

${\displaystyle |\cdot |}$ denota il valore assoluto.

${\displaystyle \Omega }$ è anche l'area del triangolo che giace in una sfera centrata nell'origine e di raggio unitario, avente come lati i segmenti di intersezione della sfera con i piani passanti per l'origine e due vertici.

Il segno del numeratore (prima della valutazione del modulo) indica se dall'origine è visibile la faccia interna del triangolo (${\displaystyle +}$) o la faccia esterna (${\displaystyle -}$). L'orientazione del triangolo è definita tramite l'orientazione dei suoi vertici (senso orario o antiorario).

Nota bene: nel caso in cui il denominatore risultasse negativo, l'arcotangente restituirebbe un valore negativo, a cui deve essere aggiunto ${\displaystyle \pi }$.

Il sole e la luna sono visti dalla Terra all'incirca sotto lo stesso angolo solido, che corrisponde più o meno a 1/100000 della volta celeste.

Voci correlate

• Angolo
• Steradiante
• Angolo diedro
• Bisettrice di un angoloide
• Coni quadrici
• Poliedri
• Sezione retta
• Incentroide

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Collegamenti esterni

• (EN) IUPAC Gold Book, "solid angle", su goldbook.iupac.org.

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