Insiemi disgiunti

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Nella teoria degli insiemi la disgiunzione è la relazione che sussiste fra due insiemi che non hanno alcun elemento in comune. In altre parole, due insiemi ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sono disgiunti se la loro intersezione è l'insieme vuoto ${\displaystyle \varnothing }$, cioè: ${\displaystyle A\cap B=\varnothing .}$

Esempi

Si considerino gli insiemi

${\displaystyle A=\{1,2,3\};\;B=\{3,4,5\};\;C=\{4,5,6\}}$

mentre ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ non sono disgiunti, ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle C}$ sono disgiunti.

Sono disgiunti l'insieme dei numeri pari e quello dei numeri dispari. Non lo sono l'insieme dei numeri reali e l'insieme dei numeri immaginari: hanno in comune lo zero inteso come numero complesso.

Varie

La disgiunzione di insiemi è una relazione simmetrica, non riflessiva (l'unico elemento in relazione con sé stesso è l'insieme vuoto) e non transitiva. Un controesempio per la non transitività è dato dai seguenti insiemi

${\displaystyle E=\{a,b,c\};\;F=\{d,f,g\};\;G=\{e,f,h,i\}}$ ;

${\displaystyle E}$ ed ${\displaystyle F}$ sono disgiunti, come lo sono ${\displaystyle E}$ e ${\displaystyle G}$; ${\displaystyle F}$ e ${\displaystyle G}$ invece non sono disgiunti.

Una famiglia di insiemi ${\displaystyle \,E_{i}}$ per ${\displaystyle \,i\in I}$ si dice costituita da insiemi mutuamente disgiunti (o a due a due disgiunti) se per ogni coppia di indici distinti ${\displaystyle \,h,k\in I}$ i corrispondenti insiemi sono disgiunti: ${\displaystyle \,E_{h}\cap \,E_{k}=\varnothing }$. Notare che questa è una proprietà più forte del richiedere che l'intersezione totale ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}E_{I}}$ sia vuota. Per esempio gli insiemi E, F e G definiti sopra non sono mutuamente disgiunti sebbene ${\displaystyle \,E\cap \,F\cap \,G=\varnothing }$.

Una partizione di un insieme è costituita da un ricoprimento fatto con suoi sottoinsiemi mutuamente disgiunti.

Voci correlate

• Intersezione di insiemi
• Separazione (teoria degli insiemi)

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Collegamenti esterni

• (EN) disjoint sets, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Disjoint Sets, su MathWorld, Wolfram Research.

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