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La teoria degli insiemi è una teoria matematica posta ai fondamenti della matematica stessa, collocandosi nell'ambito della logica matematica.

Prima della prima metà del XIX secolo la nozione di insieme veniva considerata solo come qualcosa di intuitivo e generico. La nozione è stata sviluppata nella seconda metà del XIX secolo dal matematico tedesco Georg Cantor, è stata al centro dei dibattiti sui fondamenti dal 1890 al 1930 ed ha ricevuto le prime sistemazioni assiomatiche per merito di Ernst Zermelo, Adolf Fraenkel, Paul Bernays, Kurt Gödel, John von Neumann e Thoralf Skolem, Gottlob Frege (le convenzioni linguistico-formali, come il quantificatore universale ed esistenziale) e Giuseppe Peano (notazione e sintassi). In questo periodo si sono assestati due sistemi di assiomi chiamati sistema assiomatico di Zermelo-Fraenkel e sistema assiomatico di Von Neumann-Bernays-Gödel.

Successivamente si sono affrontate le tematiche riguardanti il problema della completezza dei sistemi di assiomi (v. teorema di incompletezza di Gödel), i rapporti con la teoria della calcolabilità (vedasi anche macchina di Turing) e la compatibilità dei sistemi di assiomi con l'assioma della scelta e con assiomi equivalenti o simili. Accanto a differenti consolidate teorie formali degli insiemi (vedi anche teoria assiomatica degli insiemi) esistono esposizioni più intuitive che costituiscono la cosiddetta teoria ingenua degli insiemi.

Elenchiamo le entità principali della teoria degli insiemi.

Nozioni di base

elemento
insieme, chiamato anche assieme, aggregato, collezione, set
sottoinsieme
filtro
ultrafiltro

Operatori e costruzioni

unione: $\cup$ ((OR) nell'Algebra di Boole)
intersezione: $\cap$ ((AND) nell'Algebra Booleana)
complemento: $^{C}$ ((NOT) nell'Algebra Booleana)
(differenza): $\setminus$
differenza simmetrica: $\Delta$ ((XOR) nell'Algebra Booleana)
prodotto cartesiano: $\times$
somma disgiunta: $+$
insieme potenza o insieme delle parti: ${\mathcal {P}}$

Relazioni

appartenenza: $\in$
uguaglianza: $=$
inclusione: $\subseteq$
disgiunzione
relazioni su un insieme
non confrontabilità

Insiemi delle diverse cardinalità e controllabilità

Insieme vuoto: $\emptyset$

Insieme finito

Insieme numerabile

Insieme ricorsivo

Insieme ricorsivamente enumerabile

Insieme con la potenza del continuo

Cardinalità

Numero transfinito

Insiemi numerici

numeri naturali
numeri interi o numeri relativi
numeri razionali
numeri reali
numeri irrazionali
numeri algebrici
numeri trascendenti
numeri complessi

Bibliografia

Alexander Abian, La teoria degli insiemi e l'aritmetica transfinita, Feltrinelli, 1972
(EN) Paul Bernays, Axiomatic Set Theory, Dover, 1991
(FR) Nicolas Bourbaki, Théorie des ensembles, Hermann, 1970
Paul J. Cohen, La teoria degli insiemi e l'ipotesi del continuo, Feltrinelli, 1973
Frank R. Drake e Dasharath Singh, Intermediate set theory, Wiley, 1996, ISBN 978-0-471-96494-0.
(EN) Robert E. Edwards, A formal Background to Mathematics Ia Ib. Logic, sets and Numbers, Springer, 1979, ISBN 3-540-90431-X
(EN) Abraham H. Fraenkel, Abstract set theory, North-Holland, 1961
Paul Halmos, Teoria elementare degli insiemi, Feltrinelli, 1976
Gabriele Lolli, Teoria assiomatica degli insiemi, Boringhieri, 1974
J. Donald Monk, Introduzione alla teoria degli insiemi, Boringhieri, 1972
Patrick Suppes, Axiomatic set theory, collana Dover books on advanced mathematics, 1. Dover ed, Dover Publ, 1972, ISBN 978-0-486-61630-8.

Voci correlate

Teoria ingenua degli insiemi
Teoria assiomatica degli insiemi
Insieme sfocato o fuzzy set
Luogo geometrico
Teoria delle categorie
Teoria dei tipi
Analisi non standard

Altri progetti

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Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla teoria degli insiemi

Collegamenti esterni

Gabriele Lolli, La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. La teoria degli insiemi, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2004.
insiemi, teoria degli, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
(EN) Robert R. Stoll e Herbert Enderton, set theory, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Set Theory, su Internet Encyclopedia of Philosophy.
(EN) Teoria degli insiemi / Teoria degli insiemi (altra versione), su Stanford Encyclopedia of Philosophy.
(EN) Eric W. Weisstein, Set Theory, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Set theory, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
(EN) Denis Howe, set theory, in Free On-line Dictionary of Computing. Disponibile con licenza GFDL

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