Cardinalità

In teoria degli insiemi per cardinalità (o numerosità o potenza) di un insieme finito si intende il numero dei suoi elementi.

L'insieme formato da questi solidi platonici ha cardinalità uguale a cinque

La cardinalità di un insieme ${\displaystyle A}$ è indicata con i simboli ${\displaystyle \left\vert A\right\vert }$, ${\displaystyle \#(A)}$ oppure ${\displaystyle \operatorname {card} (A)}$.

Definizione

La definizione, valida anche per insiemi infiniti, è astratta ed è una generalizzazione del concetto di numero naturale.

La definizione segue i seguenti passi:

1. due insiemi A e B si dicono equicardinali o equipotenti o anche "equinumerosi" se fra i loro elementi si può stabilire una corrispondenza biunivoca, vale a dire, se a ogni elemento di A si può associare uno e un solo elemento di B, e viceversa;
2. si constata che l'equicardinalità è una relazione di equivalenza (in realtà essa gode solamente delle proprietà che caratterizzano le relazioni d'equivalenza ma in teoria assiomatica degli insiemi non è una relazione d'equivalenza a causa del fatto che: " l'insieme di tutti gli insiemi equipotenti a un assegnato insieme A" non è un insieme, ma una classe propria). Si dice che due insiemi hanno la stessa cardinalità (o la stessa potenza) se sono equicardinali;
3. gli insiemi finiti si possono collocare in classi di equicardinalità e ciascuna di queste classi di equivalenza può essere rappresentata dall'intero naturale che fornisce il numero di ciascuno degli insiemi; quindi gli interi naturali possono essere identificati con le potenze degli insiemi finiti;
4. si considera la classe degli insiemi che si possono porre in biiezione con l'insieme dei naturali: questa classe si dice cardinalità del numerabile e si può considerare come un numero; questo si denota con il simbolo ${\displaystyle \aleph _{0}}$, da leggersi aleph-zero;
5. indichiamo con ${\displaystyle \aleph _{1}}$ la più piccola cardinalità più che numerabile. Questo processo può proseguire e si può individuare una successione di entità ${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots }$ che si dicono numeri cardinali transfiniti;
6. si considera la classe degli insiemi che si possono porre in biiezione con i numeri reali (o con i numeri reali dell'intervallo [0,1]): questa classe si dice cardinalità del continuo e si può considerare come un numero che si denota con ${\displaystyle \mathbf {c} }$. L'Ipotesi del continuo afferma ${\displaystyle \mathbf {c} =\aleph _{1}}$;
7. si considera la classe degli insiemi che si possono porre in biiezione con la totalità delle funzioni di variabile reale a valori reali; questa classe si dice cardinalità delle funzioni e si denota con ${\displaystyle 2^{\mathbf {c} }}$. Secondo l'ipotesi del continuo generalizzata ${\displaystyle 2^{\mathbf {c} }=\aleph _{2}}$.

È fondamentale il teorema di Cantor-Bernstein:

siano ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ due insiemi; se esistono un'applicazione iniettiva ${\displaystyle f}$ di ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle B}$ e un'applicazione iniettiva ${\displaystyle g}$ di ${\displaystyle B}$ in ${\displaystyle A,}$ allora ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sono equipotenti.

Ad esempio, l'intervallo di numeri reali ${\displaystyle (0,1)}$ è equipotente all'intervallo ${\displaystyle (0,1];}$ infatti la funzione ${\displaystyle f\colon (0,1)\to (0,1],}$ ${\displaystyle f(x)=x}$ è iniettiva, ma anche la funzione ${\displaystyle g\colon (0,1]\to (0,1),}$ ${\displaystyle g(x)=x/2}$ è iniettiva, quindi per il teorema di Cantor-Bernstein gli insiemi ${\displaystyle (0,1)}$ e ${\displaystyle (0,1]}$ sono equipotenti.

Voci correlate

• Numero cardinale
• Numero ordinale (teoria degli insiemi)
• Numero transfinito

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Collegamenti esterni

• cardinalità, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• cardinalita, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
• cardinalità, su sapere.it, De Agostini.
• cardinalita, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Cardinality, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (EN) Denis Howe, cardinality, in Free On-line Dictionary of Computing. Disponibile con licenza GFDL

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