Rotazione (matematica)

In matematica, e in particolare in geometria, una rotazione è una trasformazione del piano o dello spazio euclideo che sposta gli oggetti in modo rigido e che lascia fisso almeno un punto, nel caso del piano, o una retta, nel caso dello spazio. I punti che restano fissi nella trasformazione formano più in generale un sottospazio: quando questo insieme è un punto o una retta, si chiama rispettivamente il centro e l'asse della rotazione.

Una sfera che ruota intorno a un asse

Più precisamente, una rotazione è una isometria di uno spazio euclideo che ne preserva l'orientazione, ed è descritta da una matrice ortogonale speciale.

Qualunque sia il numero delle dimensioni dello spazio di rotazione, gli elementi della rotazione sono:

1. il verso (orario-antiorario);
2. l'ampiezza dell'angolo di rotazione;
3. il centro di rotazione (il punto attorno a cui avviene il movimento rotatorio).

Due dimensioni

Rotazione antioraria nel piano

Lo stesso argomento in dettaglio: Isometria del piano.

In due dimensioni, una rotazione è una trasformazione ${\displaystyle R(\theta )}$, la quale supposta antioraria dipende da un angolo ${\displaystyle \theta }$, e che trasforma il vettore ${\displaystyle (x;y)}$ in

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta ,\\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}}$

Usando la moltiplicazione di matrici la rotazione antioraria può essere descritta così:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}.}$

La matrice quadrata presente in questa espressione è una matrice ortogonale speciale di rango ${\displaystyle 2}$. Questa trasformazione è chiamata rotazione antioraria di angolo ${\displaystyle \theta }$ intorno all'origine.

La matrice ${\displaystyle 2\times 2}$ che descrive la rotazione è spesso chiamata matrice di rotazione di angolo ${\displaystyle \theta }$.

Dimostrazione

Le formule di rotazione possono essere ottenute ragionando nel modo seguente. Sia ${\displaystyle P(x;y)}$ un punto qualsiasi e siano ${\displaystyle \rho }$ e ${\displaystyle \alpha }$ le sue coordinate polari. Si ha

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \alpha \\y&=\rho \sin \alpha \end{aligned}}}$

il punto ${\displaystyle P'(x';y')}$, immagine di ${\displaystyle P}$ in una rotazione antioraria di un angolo ${\displaystyle \theta }$, ha coordinate polari ${\displaystyle (\rho ;\alpha +\theta )}$. Le sue coordinate cartesiane sono perciò date dal sistema precedente, ove si ponga ${\displaystyle \alpha +\theta }$ al posto di ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\rho \cos \left(\alpha +\theta \right)\\y'&=\rho \sin \left(\alpha +\theta \right).\end{aligned}}}$

applicando le formule di addizione di seno e coseno e tenendo conto anche delle formule iniziali, si ottengono le formule di rotazione, infatti:

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\rho \cos \left(\alpha +\theta \right)&=\rho \left(\cos \alpha \cos \theta -\sin \alpha \sin \theta \right)&=x\cos \theta -y\sin \theta ,\\y'&=\rho \sin \left(\alpha +\theta \right)&=\rho \left(\sin \alpha \cos \theta +\cos \alpha \sin \theta \right)&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}}$

Nel piano complesso

Lo stesso argomento in dettaglio: Rotazione nel piano complesso e Gruppo circolare.

Una rotazione si esprime in modo più conciso interpretando il piano come piano complesso: una rotazione equivale al prodotto per un numero complesso di modulo unitario.

In questo modo, ad esempio, la rotazione di angolo ${\displaystyle \theta }$, con centro nell'origine, si scrive come

${\displaystyle {\begin{matrix}\rho \colon &\mathbb {C} &\to &\mathbb {C} ,&\\&z&\mapsto &z'&=e^{i\theta }z.\end{matrix}}}$

L'insieme dei numeri complessi con modulo unitario è algebricamente chiuso rispetto al prodotto, formando così un gruppo abeliano, chiamato il gruppo circolare: l'interpretazione complessa delle rotazioni del piano può essere allora espressa come il fatto che il gruppo circolare e il gruppo ortogonale speciale ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$ sono isomorfi.

Tre dimensioni

Rotazione in un sistema tridimensionale

In tre dimensioni, una rotazione è determinata da un asse, dato da una retta ${\displaystyle r}$ passante per l'origine, e da un angolo ${\displaystyle \theta }$ di rotazione. Per evitare ambiguità, si fissa una direzione dell'asse, e si considera la rotazione di angolo ${\displaystyle \theta }$ effettuata in senso antiorario rispetto all'asse orientato. La rotazione è descritta nel modo più sintetico scrivendo i vettori dello spazio in coordinate rispetto ad una base ortonormale ${\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}}$, dove ${\displaystyle v_{1}}$ è il vettore di lunghezza uno contenuto in ${\displaystyle r}$ e avente direzione giusta. La rotazione intorno all'asse ${\displaystyle x}$ trasforma il vettore di coordinate ${\displaystyle (x,y,z)}$ in:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}.}$

Una rotazione generale in 3 dimensioni può essere espressa come una composizione di 3 rotazioni intorno a tre assi indipendenti, come ad esempio gli assi ${\displaystyle x,y,z}$. Quindi dati tre angoli ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$, che indicano rispettivamente di quanto si deve ruotare intorno a ognuno degli assi, la matrice di rotazione risulta:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

Senza cambiare base, la rotazione di un angolo ${\displaystyle \theta }$ intorno ad un asse determinato dal versore ${\displaystyle (x,y,z)}$ (ossia un vettore di modulo unitario) è descritta dalla matrice seguente:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x^{2}+(1-x^{2})\cos \theta &xy(1-\cos \theta )-z\sin \theta &xz(1-\cos \theta )+y\sin \theta \\xy(1-\cos \theta )+z\sin \theta &y^{2}+(1-y^{2})\cos \theta &yz(1-\cos \theta )-x\sin \theta \\xz(1-\cos \theta )-y\sin \theta &yz(1-\cos \theta )+x\sin \theta &z^{2}+(1-z^{2})\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

Ponendo ${\displaystyle (x,y,z)=(1,0,0)}$ oppure ${\displaystyle (x,y,z)=(0,1,0)}$ oppure ${\displaystyle (x,y,z)=(0,0,1)}$ si ottiene rispettivamente la rotazione attorno all'asse ${\displaystyle x,}$ all'asse ${\displaystyle y}$ e all'asse ${\displaystyle z.}$

Tale matrice è stata ottenuta scrivendo la matrice associata alla trasformazione lineare (rispetto alle basi canoniche nel dominio e codominio) della formula di Rodrigues.

In molte applicazioni risulta conveniente usare l'algebra dei quaternioni per effettuare rotazioni nello spazio tridimensionale.

Dimensione arbitraria

In uno spazio euclideo di dimensione arbitraria, una rotazione è una trasformazione lineare dello spazio in sé che è anche una isometria, e che mantiene l'orientazione dello spazio. Le matrici ${\displaystyle n\times n}$ che realizzano queste trasformazioni sono le matrici ortogonali speciali.

Note

1. ^ (EN) Weisstein, Eric W., Rotation Matrix, su mathworld.wolfram.com. URL consultato il 17 marzo 2018.

Voci correlate

• Angoli di Eulero
• Asse angolo
• Rotazioni spaziali con i quaternioni
• Matrice di rotazione
• Formula di Rodrigues
• Isometria
• Matrice ortogonale
• Spinore
• Omotetia
• Traslazione (geometria)
• Riflessione (geometria)

Altri progetti

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• Wikizionario
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Collegamenti esterni

• Rotazione, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• Rotazione, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
• Rotazióne, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• rotazióne, su sapere.it, De Agostini.
• Rotazione, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) rotation, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Rotation, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Rotation, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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