Misura (matematica)

In analisi matematica, una misura, talvolta detta misura positiva, è una funzione che assegna un numero reale a taluni sottoinsiemi di un dato insieme per rendere quantitativa la nozione della loro estensione. In particolare, si assegnano lunghezze a segmenti di curva, aree a superfici, volumi a figure tridimensionali e probabilità ad eventi.

La teoria della misura è la branca dell'analisi reale e complessa che studia sigma-algebre, spazi misurabili, insiemi misurabili, misure, funzioni misurabili ed integrali. La teoria astratta della misura ha come casi particolari la teoria della probabilità, e trova numerose applicazioni in diversi settori della matematica pura ed applicata.

La nozione di misura, e quelle ad essa correlate, sono nate a cavallo tra il XIX secolo ed il XX secolo, nell'ambito appunto della formalizzazione della teoria della misura.

Definizione

Sia ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ una σ-algebra definita su un insieme ${\displaystyle X}$. Si definisce misura una funzione ${\displaystyle \mu \colon {\mathfrak {F}}\to [0,+\infty ]}$ (vedi retta reale estesa), con ${\displaystyle \mu (E)<+\infty }$ per almeno un ${\displaystyle E\in {\mathfrak {F}}}$, tale da essere σ-additiva.

La σ-additività, o additività numerabile, significa che se ${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots \in {\mathfrak {F}}}$ è una successione di insiemi mutuamente disgiunti, allora:

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{+\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{+\infty }\mu (E_{i}).}$

Gli elementi di ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ sono detti insiemi misurabili, e la struttura ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$ viene detta spazio di misura.

Una misura complessa è una funzione numerabilmente additiva a valori complessi definita su una σ-algebra.

Proprietà

Dalla definizione possono essere derivate le seguenti proprietà:

• L'insieme vuoto ha misura nulla:

${\displaystyle \mu (\varnothing )=0.}$

• Se ${\displaystyle E_{1}}$ ed ${\displaystyle E_{2}}$ sono insiemi misurabili, allora se ${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}}$ si ha ${\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})}$.

• Se ${\displaystyle E_{1},E_{2},\dots }$ sono insiemi misurabili e ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \;\;E_{n}\subseteq E_{n+1}}$, allora l'unione degli insiemi ${\displaystyle E_{n}}$ è misurabile:

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{+\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to +\infty }\mu (E_{i}).}$

• Se ${\displaystyle E_{1},E_{2},\dots }$ sono insiemi misurabili e ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \;\;E_{n+1}\subseteq E_{n}}$, allora l'intersezione degli insiemi ${\displaystyle E_{n}}$ è misurabile. Inoltre, se almeno uno di tali insiemi ha misura finita, allora

${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{+\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to +\infty }\mu (E_{i}).}$

Misure prodotto

Lo stesso argomento in dettaglio: Misura prodotto.

Siano ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$ e ${\displaystyle (Y,{\mathfrak {G}},\lambda )}$ due spazi di misura. Ad ogni funzione ${\displaystyle f}$ definita su ${\displaystyle X\times Y}$ e ad ogni ${\displaystyle x\in X}$ si può associare la funzione ${\displaystyle f_{x}(y)=f(x,y)}$ definita in ${\displaystyle Y}$, e per ogni ${\displaystyle y\in Y}$ si può associare la funzione ${\displaystyle f_{y}(x)=f(x,y)}$. Per ogni insieme aperto ${\displaystyle V\in {\mathfrak {G}}\times {\mathfrak {F}}}$ si definisce inoltre:

${\displaystyle Q=\{(x,y):f(x,y)\in V\},\qquad Q_{x}=\{y:f_{x}(y)\in V\}.}$

Si dimostra che se

${\displaystyle \phi (x)=\lambda (Q_{x}),\qquad \psi (y)=\mu (Q_{y}),\qquad \forall x\in X,\quad \forall y\in Y,}$

allora ${\displaystyle \phi }$ è ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$-misurabile e ${\displaystyle \psi }$ è ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$-misurabile, e si ha:

${\displaystyle \int _{X}\phi d\mu =\int _{Y}\psi d\lambda .}$

Si definisce la misura ${\displaystyle \mu \times \lambda }$ prodotto delle due misure ${\displaystyle \mu }$ e ${\displaystyle \lambda }$ l'integrale:

${\displaystyle (\mu \times \lambda )(Q)=\int _{X}\lambda (Q_{x})d\mu (x)=\int _{Y}\mu (Q_{y})d\lambda (y).}$

Continuità assoluta

Lo stesso argomento in dettaglio: Continuità assoluta.

Se ${\displaystyle \mu }$ e ${\displaystyle \nu }$ sono misure sulla stessa sigma-algebra, la misura ${\displaystyle \mu }$ si dice assolutamente continua rispetto a ${\displaystyle \nu }$ se ${\displaystyle \mu (A)=0}$ per ogni insieme ${\displaystyle A}$ per il quale ${\displaystyle \nu (A)=0}$. Questa situazione viene presentata con la scrittura ${\displaystyle \mu \ll \nu }$.

Se esiste inoltre un insieme ${\displaystyle B}$ tale per cui:

${\displaystyle \mu (E)=\mu (B\cap E),}$

per ogni insieme ${\displaystyle E}$ della sigma-algebra, allora tale misura si dice concentrata su ${\displaystyle B}$. Misure concentrate su insiemi rispettivamente disgiunti sono dette mutuamente singolari. In particolare, se ${\displaystyle \mu _{1}}$ e ${\displaystyle \mu _{2}}$ sono mutuamente singolari si scrive ${\displaystyle \mu _{1}\perp \mu _{2}}$.

Un teorema di particolare importanza nell'ambito della continuità assoluta delle misure afferma che se ${\displaystyle \mu }$ e ${\displaystyle \nu }$ sono due misure limitate, allora esiste un'unica coppia di misure positive ${\displaystyle \mu _{1}\perp \mu _{2}}$ tali che:

${\displaystyle \mu =\mu _{1}+\mu _{2},\qquad \mu _{1}\ll \nu ,\qquad \mu _{2}\perp \nu .}$

Il teorema di Radon-Nikodym afferma inoltre che esiste un'unica funzione ${\displaystyle h\in L^{1}(\nu )}$ tale che:

${\displaystyle \mu _{1}(E)=\int _{E}hd\nu ,}$

per ogni insieme ${\displaystyle E}$ della sigma-algebra. La decomposizione

${\displaystyle \mu =\mu _{1}+\mu _{2}}$

è detta decomposizione di Lebesgue di ${\displaystyle \mu }$ relativamente a ${\displaystyle \nu }$, ed è unica. La funzione ${\displaystyle h}$ si dice inoltre derivata di Radon-Nikodym di ${\displaystyle \mu _{1}}$ rispetto ${\displaystyle \nu }$.

Il teorema può essere esteso al caso più generale in cui ${\displaystyle \mu }$ è una misura complessa e ${\displaystyle \nu }$ è sigma-finita e positiva.

Differenziabilità di una misura

Sia ${\displaystyle \mu }$ una misura complessa di Borel su ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$. Si consideri una famiglia di insiemi ${\displaystyle E}$ di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ tale che il diametro di ${\displaystyle E}$ sia inferiore a ${\displaystyle \delta }$ e tale che esiste una palla ${\displaystyle B}$ contenente ${\displaystyle E}$ la cui misura di Lebesgue sia inferiore alla misura di ${\displaystyle E}$ moltiplicata per una costante finita.

Sia ${\displaystyle A}$ un numero complesso. Si dice che ${\displaystyle \mu }$ è differenziabile in ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{k}}$ e si scrive:

${\displaystyle (D\mu )(x)=A}$

se, detta ${\displaystyle m}$ la misura di Lebesgue, per ogni ${\displaystyle \epsilon >0}$ esiste ${\displaystyle \delta >0}$ tale che

${\displaystyle \left|{\frac {\mu (E)}{m(E)}}-A\right|<\epsilon ,\qquad x\in E.}$

Tale espressione è equivalente al limite in cui il diametro dell'insieme ${\displaystyle E}$ si annulla, ossia il limite in cui l'insieme coincide con il punto ${\displaystyle x}$.

Si definiscono inoltre la derivata superiore:

${\displaystyle ({\bar {D}}\mu )(x)=\lim _{\delta \to 0}\sup \left[{\frac {\mu (E)}{m(E)}}\right]}$

e la derivata inferiore, ottenuta considerando l'estremo inferiore nella relazione precedente. La misura ${\displaystyle \mu }$ è differenziabile se le derivate superiore e inferiore coincidono e sono finite, e in tal caso sono uguali a ${\displaystyle (D\mu )(x)}$.

Integrale indefinito

Si dimostra che in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ la misura ${\displaystyle \mu }$ è differenziabile quasi ovunque rispetto a ${\displaystyle m}$ e che la sua derivata è integrabile secondo Lebesgue. Inoltre, si può definire una misura ${\displaystyle \mu _{s}}$ tale che

${\displaystyle \mu _{s}\perp m,\qquad (D\mu _{s})(x)=0,}$

dove ${\displaystyle \mu _{s}\perp m}$ indica che le misure sono mutuamente singolari. Per ogni insieme di Borel ${\displaystyle E}$ si ha allora:

${\displaystyle \mu (E)=\mu _{s}(E)+\int _{E}(D\mu )(x)dx.}$

Come conseguenza di questo fatto, una condizione necessaria e sufficiente alla mutua singolarità ${\displaystyle \mu \perp m}$ è il fatto che ${\displaystyle (D\mu _{s})(x)=0}$ quasi ovunque. In generale, due misure sono mutuamente singolari se la derivata di una rispetto all'altra è nulla quasi ovunque.

Inoltre ${\displaystyle (D\mu )(x)}$ coincide quasi ovunque con la derivata di Radon-Nikodym se e solo se ${\displaystyle \mu }$ è assolutamente continua rispetto a ${\displaystyle m}$, ed in tal caso:

${\displaystyle (D\mu )(x)={\frac {d\mu }{dm}},\qquad \mu (E)=\int _{E}(D\mu )(x)dx.}$

Se si definisce infine integrale indefinito di ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{k})}$ l'espressione:

${\displaystyle \mu (E)=\int _{E}(D\mu )(x)dx,}$

allora la derivata di un integrale indefinito coincide con la funzione integranda, ed inoltre ogni misura ${\displaystyle \mu }$ che è assolutamente continua rispetto a ${\displaystyle m}$ coincide con l'integrale della sua derivata.

In generale, se ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{k})}$, allora

${\displaystyle f(x_{0})=\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {1}{m(E)}}\int _{E}(D\mu )(x)dx\right],\qquad x_{0}\in E,}$

per quasi tutti i punti ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{k}}$.

Sigma-finitezza

Uno spazio di misura ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$ si dice finito se ${\displaystyle \mu (X)}$ è un numero reale finito, mentre si dice σ-finito se ${\displaystyle X}$ è l'unione numerabile di insiemi misurabili di misura finita. Un insieme in uno spazio di misura si dice avere misura σ-finita se è una unione numerabile di insiemi di misura finita.

Ad esempio, i numeri reali con la usuale misura di Lebesgue sono σ-finiti ma non finiti. Si considerino gli intervalli chiusi ${\displaystyle [k,k+1]}$ per tutti gli interi ${\displaystyle k}$: vi è una quantità numerabile di tali intervalli, ciascuno avente misura 1, e la loro unione è l'intera retta reale. Alternativamente, si considerino i numeri reali con la (misura di conteggio), che assegna ad ogni insieme finito di numeri reali il numero di punti nell'insieme. Questa misura non è σ-finita, in quanto ogni insieme con misura finita contiene solo un insieme finito di punti e sarebbe necessario una quantità non numerabile di tali insiemi per coprire l'intera retta reale. Gli spazi di misura σ-finita risultano avere alcune proprietà molto apprezzabili, e la σ-finitezza può essere confrontata alla separabilità degli spazi topologici.

Completezza

Una misura ${\displaystyle \mu }$ si dice completa se ogni sottoinsieme di un insieme di misura nulla è misurabile. Il teorema che sta alla base della definizione afferma che se ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$ è uno spazio di misura e ${\displaystyle {\mathfrak {F}}^{*}}$ l'insieme di tutti gli insiemi ${\displaystyle E\subset X}$ per i quali esistano due insiemi ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ di ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ tali che

${\displaystyle \mu (B-A)=0,\qquad A\subset E\subset B,}$

allora, definendo ${\displaystyle \mu (E)=\mu (A)}$, ${\displaystyle {\mathfrak {F}}^{*}}$ è una σ-algebra e ${\displaystyle \mu }$ una misura su di essa.

La misura ${\displaystyle \mu }$ estesa in tal modo si dice completa, e ${\displaystyle {\mathfrak {F}}^{*}}$ prende il nome di ${\displaystyle \mu }$-completamento di ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$. Dal teorema segue che ogni misura può essere completata.

Regolarità

Lo stesso argomento in dettaglio: Misura regolare.

Generalizzazioni

In alcuni ambiti risulta utile disporre di varianti della misura definita in precedenza che possano assumere valori infiniti o non ristretti al campo reale.

• Le funzioni su insiemi numerabilmente additive che assumono valori dati da numeri reali sono chiamate misure con segno.
• Funzioni su insiemi numerabilmente additive che possono assumere valori complessi si dicono misure complesse.
• Le misure con codominio in uno spazio di Banach sono chiamate misure spettrali, e vengono usate principalmente in analisi funzionale nell'ambito della teoria spettrale.
• Le misure finitamente additive sono misure che, invece della additività numerabile, posseggono soltanto la additività finita. Storicamente questa definizione di misura è stata usata per prima, ma non si è rivelata sufficientemente utile. In generale, le misure finitamente additive sono collegate a nozioni come quella dei , duale dello spazio L^∞ e della compattificazione di Stone-Čech.

Per distinguere una usuale misura a valori positivi dalle sue possibili generalizzazioni si utilizza frequentemente il termine misura positiva.

Un importante risultato della geometria integrale, noto come , stabilisce che lo spazio delle funzioni di insieme non necessariamente non negative, invarianti per traslazione e finitamente additive che sono definite nell'insieme delle unioni finite di insiemi compatti convessi in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ consiste (a meno di multipli scalari) di una misura che è omogenea di grado ${\displaystyle k}$ per qualsiasi ${\displaystyle k=0,1,2,\dots ,n}$ e di combinazioni lineari di tali misure. La specificazione "omogeneo di grado ${\displaystyle k}$" significa che riscalando di un qualsiasi fattore ${\displaystyle c>0}$ tutti gli insiemi si moltiplica la misura di insieme per ${\displaystyle c^{k}}$. La misura omogenea di grado ${\displaystyle n}$ è l'ordinario volume ${\displaystyle n}$-dimensionale, quella omogenea di grado ${\displaystyle n-1}$ è il volume di superficie, quella omogenea di grado 1 è una funzione chiamata "ampiezza media" mentre la misura omogenea di grado 0 è infine la caratteristica di Eulero.

Esempi

• La (misura di conteggio) è definita da ${\displaystyle \mu (S)\equiv }$ numero di elementi nell'insieme ${\displaystyle S}$.
• La misura di Lebesgue è l'unica misura completa invariante per traslazione sopra una sigma algebra contenente gli intervalli in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ tale che ${\displaystyle \mu ([0,1])=1}$.
• La misura di Haar per un gruppo topologico localmente compatto è una generalizzazione della misura di Lebesgue ed ha una proprietà di unicità simile alla precedente.
• La misura zero è definita da ${\displaystyle \mu (S)\equiv 0}$ per ogni insieme ${\displaystyle S}$.
• Ad ogni spazio di probabilità si associa una misura che assume il valore 1 sull'intero spazio (e di conseguenza assume tutti i suoi valori nell'intervallo unitario ${\displaystyle [0,1]}$). Questa misura viene detta misura di probabilità (si veda anche assiomi della probabilità).

Note

1. ^ Un breve resoconto dello sviluppo storico della teoria della misura e dell'integrazione si trova testo di Boyer History of Mathematics
2. ^ W. Rudin, Pag. 16.
3. ^ W. Rudin, Pag. 138.
4. ^ W. Rudin, Pag. 139.
5. ^ W. Rudin, Pag. 140.
6. ^ W. Rudin, Pag. 121.
7. ^ W. Rudin, Pag. 122.
8. ^ W. Rudin, Pag. 124.
9. ^ W. Rudin, Pag. 153.
10. ^ W. Rudin, Pag. 152.
11. ^ W. Rudin, Pag. 154.
12. ^ W. Rudin, Pag. 156.
13. ^ W. Rudin, Pag. 155.
14. ^ W. Rudin, Pag. 157.
15. ^ W. Rudin, Pag. 27.

Bibliografia

• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
• (EN) Patrick Billingsley, Probability and measure, 3rd edition, New York, John Wiley & Sons, 1995, ISBN 0-471-00710-2, ..
• (EN) Carl B. Boyer, History of Mathematics, 2nd edition, New York, John Wiley & Sons, 1989, ISBN 0-471-54397-7.
• (EN) Donald L. Cohn, Measure Theory, Boston, Birkhäuser, 1980, ISBN 0-8493-7157-0.
• (EN) Paul R. Halmos, Measure Theory, New York, Springer-Verlag, 1974, ISBN 0-387-90088-8.
• (EN) Eric M. Verstrup, The Theory of Measures and Integration, Hoboken, John Wiley & Sons, 2003, ISBN 0-471-24977-7.

Voci correlate

• Funzione misurabile
• Misura di Borel
• Misura di Haar
• Misura di Hausdorff
• Misura di Jordan
• Misura di Lebesgue
• Misura di probabilità
• Misura esterna
• Misura regolare
• Sigma-algebra
• Spazio di misura
• Spazio misurabile

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) measure, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Misura, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Misura, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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