Epigrafico (matematica)

In analisi matematica, l'epigrafico di una funzione

Una funzione è convessa sse la regione sopra al suo grafico (in verde) è un insieme convesso. Questa regione è l'epigrafico della funzione.

${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$

definita su un insieme ${\displaystyle A}$ è l'insieme di punti che stanno al di sopra o sul grafico della funzione:

${\displaystyle {\mbox{epi}}f=\{(x,\mu )\,:\,x\in A,\,\mu \in \mathbb {R} ,\mu \geq \ f(x)\}\subseteq A\times \mathbb {R} }$

Se ${\displaystyle A}$ è un sottoinsieme di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, l'epigrafico è un sottoinsieme di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$.

Proprietà

Convessità

Nell'ipotesi:

${\displaystyle A=\mathbb {R} ^{n}}$

Una funzione è convessa se e solo se il suo epigrafico è un insieme convesso. Un insieme A è detto convesso se i segmenti che hanno estremi in A sono tutti suoi sottoinsiemi

Funzioni lineari

L'epigrafico di una funzione affine reale

${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

è un semispazio di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$.

Semicontinuità

Una funzione è inferiormente semicontinua se e solo se il suo epigrafico è chiuso.