Dominio e codominio

In matematica il dominio e il codominio di una funzione sono gli insiemi su cui essa è definita. Una funzione, infatti, è una relazione che associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio.

Definizione di funzione

In matematica una funzione è il dato di tre oggetti: un dominio ${\displaystyle X}$, un codominio ${\displaystyle Y}$ e una legge ${\displaystyle x\mapsto f(x)}$ che associa ad ogni elemento ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle X}$ uno e un solo elemento di ${\displaystyle Y}$ che viene indicato ${\displaystyle f(x)}$. Una funzione viene definita indicando tutti e tre questi oggetti, che vengono raccolti nella notazione

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}f\colon &X&\to &Y\\&x&\mapsto &f(x)\end{array}}}$

o nella notazione equivalente

${\displaystyle f\colon X\to Y,\quad x\mapsto f(x).}$

È importante notare che il dominio e il codominio devono essere definiti prima della legge di applicazione, e che tutti assieme questi oggetti definiscono una funzione. In particolare, senza indicare il dominio e il codominio non può essere definita alcuna funzione.

Ad esempio, per ogni insieme ${\displaystyle S}$ è ben definita una funzione identità su ${\displaystyle S}$, con dominio ${\displaystyle S}$, codominio ${\displaystyle S}$ e legge di applicazione ${\displaystyle x\mapsto x}$:

${\displaystyle {\text{id}}_{S}\colon S\to S,\quad x\mapsto x.}$

Omettendo dominio e codominio, la sola legge di applicazione ${\displaystyle x\mapsto x}$ non è ben definita e non definisce alcuna funzione.

Insieme di definizione

Lo stesso argomento in dettaglio: Insieme di definizione.

In alcuni contesti si usa sottintendere il dominio e il codominio di una funzione reale di variabile reale (cioè con dominio e codominio contenuti nell'insieme dei numeri reali) quando il dominio è pari all'insieme di definizione della funzione e il codominio è l'intero insieme dei numeri reali.

Ad esempio,

nell'ambito delle funzioni reali di variabile reale, ${\displaystyle f\colon x\mapsto x^{2}}$ potrebbe sottintendere un dominio ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e un codominio ${\displaystyle \mathbb {R} }$;

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+},\quad x\mapsto x^{2}}$ ha certamente dominio ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ e codominio ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$;

${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\quad x\mapsto x^{2}}$ ha certamente dominio ${\displaystyle \mathbb {C} }$ e codominio ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Dunque nel sottintendere dominio e codominio, ci si limita a sottoinsiemi dei numeri reali e si rinuncia a studiare le proprietà di una funzione (come iniettività, suriettività, morfismo).

Insieme delle immagini

Lo stesso argomento in dettaglio: Immagine (matematica).

${\displaystyle Y}$ rappresenta il codominio della funzione ${\displaystyle f}$; l'insieme denotato con ${\displaystyle f(X)}$, che è sempre incluso in ${\displaystyle Y}$, è invece l'immagine di ${\displaystyle f}$.

Come il dominio, anche il codominio è parte integrante della definizione di funzione e senza di esso non è possibile definire una legge di applicazione.

Da un punto di vista puramente computazionale, ossia se ci si interessa alle sole immagini ${\displaystyle f(x)}$ dei singoli elementi del dominio, si considera il solo insieme delle immagini, o immagine ${\displaystyle f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}}$, che è un sottoinsieme del codominio.

È sempre possibile definire una nuova funzione

${\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\to f(X),\quad x\mapsto f(x),}$

che è talvolta identificata con la funzione stessa, pur avendo diverse proprietà (come suriettività o morfismo).

Ad esempio, nel calcolo di ${\displaystyle f(1)={\tilde {f}}(1)}$ vengono identificate le due funzioni

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto e^{x}}$

${\displaystyle {\tilde {f}}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{0}^{+},\quad x\mapsto e^{x}}$

anche se solo la seconda è un isomorfismo tra il gruppo ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ e il gruppo ${\displaystyle (\mathbb {R} _{0}^{+},\cdot )}$.

In analisi complessa

In analisi complessa con dominio solitamente si indica un sottoinsieme aperto e connesso di ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.

Topologia

In topologia per dominio si intende la chiusura di un insieme aperto. Inoltre, se il suddetto aperto manifesta la proprietà della connessione, anche il dominio può dirsi connesso.

Bibliografia

• G. Zwirner, L. Scaglianti, Itinerari di matematica vol 2, Padova, CEDAM, 1990, ISBN 88-13-16854-3

Voci correlate

• Funzione (matematica)
• Immagine (matematica)
• Insieme di definizione

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Codomain, su MathWorld, Wolfram Research.

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