Correlazione (statistica)

In statistica, una correlazione è una relazione tra due variabili tale che a ciascun valore della prima corrisponda un valore della seconda, seguendo una certa regolarità. La correlazione non dipende da un rapporto di causa-effetto quanto dalla tendenza di una variabile a cambiare in funzione di un'altra.

Diversi insiemi di punti di due variabili (X;Y) con relativo coefficiente di correlazione Pearson. Il coefficiente di correlazione rispecchia la rumorosità e la direzione di un rapporto lineare (riga in alto), ma non la pendenza di tale relazione (in centro), ne eventuali altri aspetti di correlazione non lineare (in basso). N.B.: la figura in centro ha coefficiente di correlazione indefinito dato che ha pendenza uguale a 0, a causa della varianza della variabile Y uguale a 0.

Detto altrimenti correlazione non significa causazione.

Storia

Il termine apparve per la prima volta in un'opera di Francis Galton, Hereditary Genius (1869). Non fu definita in modo più approfondito (la moralità di un individuo e la sua instabilità morale sono non correlate).

Otto anni dopo, nel 1877, lo stesso Galton scoprì che i coefficienti di regressione lineare tra X e Y sono gli stessi se a entrambe le variabili viene applicata la deviazione standard σ_x e σ_y: Galton utilizzò in realtà lo scarto interquartile, definendo il parametro "coefficiente di co-relazione" e abbreviando "regressione" in r.

Descrizione

In base alle caratteristiche presentate, la correlazione può definirsi:

• diretta (o positiva): la variazione di un elemento interessa - in via diretta - anche l'altro. Per esempio, alle stature alte dei padri corrispondono stature alte dei figli;
• indiretta (anche inversa o negativa): alla variazione di un elemento corrisponde, in senso contrario, quella dell'altro. Ad esempio, a una maggior produzione di grano corrisponde un prezzo minore.

Inoltre, le correlazioni possono essere:

• semplici: mettono in relazione due fenomeni, per esempio il numero di matrimoni e la quantità di nascite;
• doppie: se i fenomeni posti in relazione sono tre, come la circolazione monetaria, i prezzi e il risparmio;
• triple: quando pongono in relazione tra loro quattro elementi.

Il grado di correlazione tra due variabili viene espresso tramite l'indice di correlazione. Il valore che esso assume è compreso tra −1 (correlazione inversa) e 1 (correlazione diretta e assoluta), con un indice pari a 0 che comporta l'assenza di correlazione; il valore nullo dell'indice non implica, tuttavia, che le variabili siano indipendenti.

I coefficienti di correlazione sono derivati dagli indici, tenendo presenti le grandezze degli scostamenti dalla media. In particolare, l'indice di correlazione di Pearson è calcolato come rapporto tra la covarianza delle due variabili e il prodotto delle loro deviazioni standard:

${\displaystyle -1\leq \rho _{xy}={\frac {\sigma _{xy}}{\sigma _{x}\sigma _{y}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu _{x})(y_{i}-\mu _{y})}{{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu _{x})^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-\mu _{y})^{2}}}}}\leq +1}$

Va comunque notato che gli indici e i coefficienti di correlazione siano da ritenersi sempre approssimativi, a causa dell'arbitrarietà con cui sono scelti gli elementi: ciò è vero, in particolare, nei casi di correlazioni multiple.

Contrariamente a quanto si potrebbe intuire, la correlazione non dipende da un rapporto di causa-effetto quanto dalla tendenza di una variabile a cambiare in funzione di un'altra. Le variabili possono essere tra loro dipendenti (per esempio la relazione tra stature dei padri e dei figli) oppure comuni (relazione tra altezza e peso di una persona).

Nel cercare una correlazione statistica tra due grandezze, per determinare un possibile rapporto di causa-effetto, essa non deve risultare una correlazione spuria.

Errore standard

Se ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ sono variabili aleatorie, l'errore standard associato al coefficiente di correlazione è:

${\displaystyle SE_{r}={\sqrt {\frac {1-r^{2}}{n-2}}},}$

dove ${\displaystyle r}$ è il coefficiente di correlazione e ${\displaystyle n}$ è la numerosità campionaria.

Note

1. ^ Definizione di correlazione, su dizionari.corriere.it. URL consultato l'8 ottobre 2017.
2. ^ Paolo Enriques, Filippo Bottazzi e Giorgio Mortara, CORRELAZIONE, su treccani.it, 1931.
3. ^ https://www.tylervigen.com/spurious-correlations
4. ^ La nascita del concetto di correlazione (PDF), su padis.uniroma1.it. URL consultato il 23 gennaio 2018 (archiviato dall'url originale il 25 luglio 2018).
5. ^ (EN) Francis Galton's account of the invention of correlation, su jstor.org, maggio 1989.
6. ^ Regressione, su treccani.it. URL consultato il 18 giugno 2018.
7. ^ Indice di correlazione, su alcula.com.
8. ^ Dove si semplificano i fattori ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ a numeratore e denominatore.
9. ^ Il concetto di correlazione (PDF), su pellerey.unisal.it. URL consultato il 22 gennaio 2018.
10. ^ Analisi di correlazione (PDF), su sisdin.unipv.it. URL consultato il 26 novembre 2017.
11. ^ Correlazione ^{[collegamento interrotto]}, su albanesi.it. URL consultato il 2 giugno 2018.
12. ^ Slides Chignola Statistica (PDF), su profs.sci.univr.it.
13. ^ A. L. Bowley, The Standard Deviation of the Correlation Coefficient, in Journal of the American Statistical Association, vol. 23, n. 161, 1928, pp. 31–34, DOI:10.2307/2277400, ISSN 0162-1459 (WC · ACNP).
14. ^ Derivation of the standard error for Pearson's correlation coefficient, su Cross Validated. URL consultato il 21-07-30.

Voci correlate

• Coefficiente di determinazione
• Correlazione spuria
• Covarianza (probabilità)
• Indice di correlazione di Pearson
• Regressione lineare
• Variabile (statistica)

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) correlation, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Correlazione / Correlazione (altra versione), su MathWorld, Wolfram Research.

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